Выбор читателей
Популярные статьи
На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.
Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала x , который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [ a ; b ] , так и открытый интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , бесконечный интервал (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) либо бесконечный промежуток - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
В этом материале мы расскажем, как вычисляется наибольшее и наименьшее значение явно заданной функции с одной переменной y=f(x) y = f (x) .
Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.
Определение 1
Наибольшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m a x y = f (x 0) x ∈ X , которое при любом значении x x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f (x) ≤ f (x 0) .
Определение 2
Наименьшее значение функции y = f (x) на некотором промежутке x – это значение m i n x ∈ X y = f (x 0) , которое при любом значении x ∈ X , x ≠ x 0 делает справедливым неравенство f(X f (x) ≥ f (x 0) .
Данные определения являются достаточно очевидными. Еще проще можно сказать так: наибольшее значение функции – это ее самое большое значение на известном интервале при абсциссе x 0 , а наименьшее – это самое маленькое принимаемое значение на том же интервале при x 0 .
Определение 3
Стационарными точками называются такие значения аргумента функции, при которых ее производная обращается в 0 .
Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.
Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.
Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.
Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:
Первый рисунок показывает нам функцию, которая принимает наибольшее и наименьшее значения (m a x y и m i n y) в стационарных точках, расположенных на отрезке [ - 6 ; 6 ] .
Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.
На третьем рисунке абсциссы точек представляют собой граничные точки отрезка [ - 3 ; 2 ] . Они соответствуют наибольшему и наименьшему значению заданной функции.
Теперь посмотрим на четвертый рисунок. В нем функция принимает m a x y (наибольшее значение) и m i n y (наименьшее значение) в стационарных точках на открытом интервале (- 6 ; 6) .
Если мы возьмем интервал [ 1 ; 6) , то можно сказать, что наименьшее значение функции на нем будет достигнуто в стационарной точке. Наибольшее значение нам будет неизвестно. Функция могла бы принять наибольшее значение при x , равном 6 , если бы x = 6 принадлежала интервалу. Именно этот случай нарисован на графике 5 .
На графике 6 наименьшее значение данная функция приобретает в правой границе интервала (- 3 ; 2 ] , а о наибольшем значении мы не можем сделать определенных выводов.
На рисунке 7 мы видим, что функция будет иметь m a x y в стационарной точке, имеющей абсциссу, равную 1 . Наименьшего значения функция достигнет на границе интервала с правой стороны. На минус бесконечности значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 .
Если мы возьмем интервал x ∈ 2 ; + ∞ , то увидим, что заданная функция не будет принимать на нем ни наименьшего, ни наибольшего значения. Если x стремится к 2 , то значения функции будут стремиться к минус бесконечности, поскольку прямая x = 2 – это вертикальная асимптота. Если же абсцисса стремится к плюс бесконечности, то значения функции будут асимптотически приближаться к y = 3 . Именно этот случай изображен на рисунке 8 .
В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.
Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.
Пример 1
Условие: задана функция y = x 3 + 4 x 2 . Определите ее наибольшее и наименьшее значение на отрезках [ 1 ; 4 ] и [ - 4 ; - 1 ] .
Решение:
Начнем с нахождения области определения данной функции. В этом случае ей будет множество всех действительных чисел, кроме 0 . Иными словами, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Оба отрезка, заданных в условии, будут находиться внутри области определения.
Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " · x 2 - x 3 + 4 · x 2 " x 4 = = 3 x 2 · x 2 - (x 3 - 4) · 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Мы узнали, что производная функции будет существовать во всех точках отрезков [ 1 ; 4 ] и [ - 4 ; - 1 ] .
Теперь нам надо определить стационарные точки функции. Сделаем это с помощью уравнения x 3 - 8 x 3 = 0 . У него есть только один действительный корень, равный 2 . Он будет стационарной точкой функции и попадет в первый отрезок [ 1 ; 4 ] .
Вычислим значения функции на концах первого отрезка и в данной точке, т.е. для x = 1 , x = 2 и x = 4:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Мы получили, что наибольшее значение функции m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 будет достигнуто при x = 1 , а наименьшее m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2 .
Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Значит, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Ответ: Для отрезка [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , для отрезка [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
См. на рисунке:
Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.
Условие: дана функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Вычислите ее наибольшее и наименьшее значение в интервалах - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Решение
Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.
Теперь выполним дифференцирование функции и получим:
y " = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 " = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.
Перейдем к нахождению стационарных точек. Производная функции обращается в 0 при x = - 1 2 . Это стационарная точка, которая находится в интервалах (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .
Вычислим значение функции при x = - 4 для промежутка (- ∞ ; - 4 ] , а также предел на минус бесконечности:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Поскольку 3 e 1 6 - 4 > - 1 , значит, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Это не дает нам возможности однозначно определить наименьшее значение функции. Мы можем только сделать вывод, что внизу есть ограничение - 1 , поскольку именно к этому значению функция приближается асимптотически на минус бесконечности.
Особенностью второго интервала является то, что в нем нет ни одной стационарной точки и ни одной строгой границы. Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения функции мы вычислить не сможем. Определив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к - 3 с левой стороны, мы получим только интервал значений:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Значит, значения функции будут расположены в интервале - 1 ; + ∞
Чтобы найти наибольшее значение функции в третьем промежутке, определим ее значение в стационарной точке x = - 1 2 , если x = 1 . Также нам надо будет знать односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к - 3 с правой стороны:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
У нас получилось, что наибольшее значение функция примет в стационарной точке m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 . Что касается наименьшего значения, то его мы не можем определить. Все, что нам известно, – это наличие ограничения снизу до - 4 .
Для интервала (- 3 ; 2) возьмем результаты предыдущего вычисления и еще раз подсчитаем, чему равен односторонний предел при стремлении к 2 с левой стороны:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Значит, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , а наименьшее значение определить невозможно, и значения функции ограничены снизу числом - 4 .
Исходя из того, что у нас получилось в двух предыдущих вычислениях, мы можем утверждать, что на интервале [ 1 ; 2) наибольшее значение функция примет при x = 1 , а найти наименьшее невозможно.
На промежутке (2 ; + ∞) функция не достигнет ни наибольшего, ни наименьшего значения, т.е. она будет принимать значения из промежутка - 1 ; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Вычислив, чему будет равно значение функции при x = 4 , выясним, что m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и заданная функция на плюс бесконечности будет асимптотически приближаться к прямой y = - 1 .
Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.
Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Понятие наибольшего и наименьшего значений функции.
Понятие набольшего и наименьшего значений тесно связано с понятием критической точки функции.
Определение 1
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Введем теперь определения наибольшего и наименьшего значения функции.
Определение 2
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство
Определение 3
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство
Введем для начала понятие непрерывной на отрезке функции:
Определение 4
Функция $f\left(x\right)$ называется непрерывной на отрезке $$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, а также непрерывна справа в точке $x=a$ и слева в точке $x=b$.
Сформулируем теорему о непрерывной на отрезке функции.
Теорема 1
Теорема Вейерштрасса
Непрерывная на отрезке $$ функция $f\left(x\right)$ достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют точки $\alpha ,\beta \in $ такие, что для всех $x\in $ выполняется неравенство $f(\alpha)\le f(x)\le f(\beta)$.
Геометрическая интерпретация теоремы изображена на рисунке 1.
Здесь функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения в точке $x=\alpha $ достигает своего наибольшего значения в точке $x=\beta $.
1) Найти производную $f"(x)$;
2) Найти точки, в которых производная $f"\left(x\right)=0$;
3) Найти точки, в которых производная $f"(x)$ не существует;
4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $$;
5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $$;
6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение.
Пример 1
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке : $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Решение.
1) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
2) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $2\in \left,\ 3\in $;
5) Значения:
\ \ \ \
6) Наибольшее из найденных значений - $33$, наименьшее из найденных значений - $1$. Таким образом, получим:
Ответ: $max=33,\ min=1$.
Пример 2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке : $f\left(x\right)=x^3-3x^2-45x+225$
Решение.
Решение будем проводить по выше данной схеме.
1) $f"\left(x\right)=3x^2-6x-45$;
2) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
3) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;
4) $-3\notin \left,\ 5\in $;
5) Значения:
\ \ \
6) Наибольшее из найденных значений - $225$, наименьшее из найденных значений - $50$. Таким образом, получим:
Ответ: $max=225,\ min=50$.
Пример 3
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2,2]: $f\left(x\right)=\frac{x^2-6x+9}{x-1}$
Решение.
Решение будем проводить по выше данной схеме.
1) $f"\left(x\right)=\frac{\left(2x-6\right)\left(x-1\right)-(x^2-6x+9)}{{(x-1)}^2}=\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}$;
2) $f"\left(x\right)=0$;
\[\frac{x^2-2x-3}{{(x-1)}^2}=0\] \ \
3) $f"(x)$ не существует в точке $x=1$
4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, однако 1 не принадлежит области определения;
5) Значения:
\ \ \
6) Наибольшее из найденных значений - $1$, наименьшее из найденных значений - $-8\frac{1}{3}$. Таким образом, получим: \end{enumerate}
Ответ: $max=1,\ min==-8\frac{1}{3}$.
В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.
В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.
I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:
Пример 1.
Найдите наименьшее значение функции
y
= x
3 – 18x
2 + 81x
+ 23 на отрезке .
Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:
Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.
II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:
Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.
На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке - на концах отрезка.
Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.
Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .
Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .
Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .
Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .
Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.
Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .
Решение. Находим производную данной функции как производную частного:
.
Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .
Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.
Пример 8. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :
Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 9. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Решение. Находим производную данной функции:
Приравниваем производную нулю:
Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:
Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .
В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.
Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?
Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :
Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём
.
Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться
Статьи по теме: | |
Спаривание богомолов Самка богомола откусывает голову самцу
У самок богомола есть привычка убивать и есть своих партнеров во время... Как муравьи выращивают детей из яиц
В природе существует более 110 видов муравьёв-жнецов, из них 5 видов... Славка ястребиная Питание птицы славки
ОТРЯД ВОРОБЬИНООБРАЗНЫХ (Passeriformes) СЕМЕЙСТВО СЛАВКОВЫХ (Sylviidae)... |